Question

16．已知函數(shù)$f（x）=alnx+\frac{{2{a^2}}}{x}+x（{a∈R}）$．
（1）當a=1時，討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性；
（2）若對任意m，n∈（0，2）且m≠n，有$\frac{f（m）-f（n）}{m-n}＜1$恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）令g（x）=f（x）-x=alnx+$\frac{{2a}^{2}}{x}$，通過討論m，n的大小，得到g（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，通過討論a的范圍，確定函數(shù)g（x）的單調(diào)性，從而確定a的具體范圍即可．

解答 解：（1）函數(shù)的定義域為（0，+∞），
a=1時，f（x）=lnx+$\frac{2}{x}$+x，f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$+1=$\frac{{x}^{2}+x-2}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+2）（x-1）}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增；
（2）若m＞n，由$\frac{f（m）-f（n）}{m-n}＜1$，
得f（m）-m＜f（n）-n
若m＜n，由$\frac{f（m）-f（n）}{m-n}＜1$，
得f（m）-m＞f（n）-n
令g（x）=f（x）-x=alnx+$\frac{{2a}^{2}}{x}$，
g′（x）=$\frac{a（x-2a）}{{x}^{2}}$（x＞0）
∵g（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，
∴①當a=0時，g′（x）=0，不符合題意；
②當a＞0時，由g′（x）＜0得0＜x＜2a，
所以g（x）在（0，2a）上遞減，
所以2≤2a，即a≥1；
③當a＜0時，在（0，+∞）上，都有g′（x）＜0，
所以g（x）在（0，+∞）上遞減，即在（0，2）上也單調(diào)遞減，
綜上，實數(shù)a的取值范圍為（-∞，0）∪[1，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．