Question

已知a₁，a₂，…，a₂₀₁₃是一列互不相等的正整數(shù)．若任意改變這2013個數(shù)的順序，并記為b₁，b₂，…，b₂₀₁₃，則數(shù)N=（a₁-b₁）（a₂-b₂）…（a₂₀₁₃-b₂₀₁₃）的值必為（　　）

• A、偶數(shù)
• B、奇數(shù)
• C、0
• D、1

Answer 1

分析：采用反證法加以證明：若N=（a₁-b₁）（a₂-b₂）…（a₂₀₁₃-b₂₀₁₃）為奇數(shù)，則a_i-b_i（i=1，2，…，2013）都是奇數(shù)，從而得到a₁、a₂、…、a₂₀₁₃中的奇數(shù)、偶數(shù)的個數(shù)與b₁、b₂、…、b₂₀₁₃中的奇數(shù)、偶數(shù)的個數(shù)互相交換，由此列式得到與2013為奇數(shù)矛盾，從而得出數(shù)N不是奇數(shù)，可得本題答案．

解答：解：根據(jù)“當(dāng)且僅當(dāng)各個因式都為奇數(shù)，積為奇數(shù)”，可得
當(dāng)且僅當(dāng)a_i-b_i（i=1，2，…，2013）都是奇數(shù)時，N=（a₁-b₁）（a₂-b₂）…（a₂₀₁₃-b₂₀₁₃）為奇數(shù)．
假設(shè)N=（a₁-b₁）（a₂-b₂）…（a₂₀₁₃-b₂₀₁₃）為奇數(shù)，
則滿足a_i-b_i（i=1，2，…，2013）是奇數(shù)，可得a_i是奇數(shù)則b_i為偶數(shù)，或a_i是偶數(shù)則b_i為奇數(shù)．
設(shè)a₁、a₂、…、a₂₀₁₃中有x個奇數(shù)（x≤2013且x∈N），則有（2013-x）個偶數(shù)．
根據(jù)前面推出的奇偶數(shù)規(guī)律，可得b₁、b₂、…、b₂₀₁₃中必定有x個偶數(shù)和（2013-x）個奇數(shù)，
∵b₁、b₂、…、b₂₀₁₃是由a₁、a₂、…、a₂₀₁₃重新排序而得，
∴b₁、b₂、…、b₂₀₁₃中奇數(shù)個數(shù)等于a₁、a₂、…、a₂₀₁₃中偶數(shù)的個數(shù)，
即2013-x=x，得x=

2013

2

∉N，與題設(shè)矛盾
∴假設(shè)不成立，可得N=（a₁-b₁）（a₂-b₂）…（a₂₀₁₃-b₂₀₁₃）一定是偶數(shù)．
故選：A

點評：本題給出2013個數(shù)的積，判斷它是奇數(shù)還是偶數(shù)．考查了歸納推理的一般方法及其應(yīng)用的知識，屬于中檔題．