【題目】已知函數(shù), .

(1)求函數(shù)的最小值;

(2)若函數(shù)的圖象恰有一個公共點,求實數(shù)的值;

(3)若函數(shù)有兩個不同的極值點,且,求實數(shù)的取值范圍.

【答案】(;(.

【解析】試題分析:()由,得極值點為,分情況討論時,函數(shù)的最小值;()當函數(shù)有兩個不同的極值點,即有兩個不同的實根,問題等價于直線與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點,由單調(diào)性結(jié)合函數(shù)圖象可知當時, 存在,且的值隨著的增大而增大,而當時,由題意, 代入上述方程可得,此時實數(shù)的取值范圍為.

試題解析:()由,可得,

時,函數(shù)上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

函數(shù)上的最小值為

時,上單調(diào)遞增,

,

,則

題意即為有兩個不同的實根,

有兩個不同的實根,

等價于直線與函數(shù)的圖像有兩個不同的交點,

上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

畫出函數(shù)圖像的大致形狀(如右圖),

由圖像知,當時, 存在,且的值隨著的增大

而增大,而當時,由題意,

兩式相減可得

代入上述方程可得

此時,

所以,實數(shù)的取值范圍為;

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