正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝A1A，D為C1C的中點(diǎn)，O為A1B與AB1的交點(diǎn)．

(1)求證：AB1⊥平面A1BD；

(2)若點(diǎn)E為AO的中點(diǎn)，求證：EC∥平面A1BD.

 

（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【解析】證明：(1)連結(jié)DA、DB1、DO.

∵AB＝A1A，D為C1C的中點(diǎn)，

而DB1＝，DA＝，∴DB1＝DA.

又O是正方形A1ABB1對(duì)角線的交點(diǎn)，∴DO⊥AB1.

又A1B⊥AB1，A1B∩DO＝O，∴AB1⊥平面A1BD.

(2)取A1O的中點(diǎn)F，在△A1OA中，

∵E是OA中點(diǎn)，∴EF∥= AA1.

又D為C1C的中點(diǎn)，∴CD∥= AA1.

∴EF∥=CD，故四邊形CDFE是平行四邊形．∴CE∥DF.

又DF平面A1BD，CE平面A1BD，∴EC∥平面A1BD.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是線段EF的中點(diǎn)．

求證：(1)AM∥平面BDE；

(2)AM⊥平面BDF.

 

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如圖，三棱錐A-BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分別是AC，AD上的動(dòng)點(diǎn)，且＝λ(0＜λ＜1)．

(1)求證：不論λ為何值，總有平面BEF⊥平面ABC；

(2)當(dāng)λ為何值時(shí)，平面BEF⊥平面ACD..

 

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在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是CD、A1D1中點(diǎn)．

(1)求證：AB1⊥BF；

(2)求證：AE⊥BF；

(3)棱CC1上是否存在點(diǎn)F，使BF⊥平面AEP，若存在，確定點(diǎn)P的位置；若不存在，說(shuō)明理由．

 

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如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，C是圓O上不同于A、B的任一點(diǎn)，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為________．

 

 

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下列命題中正確的是________．(填序號(hào))

①若直線a不在α內(nèi)，則a∥α；

②若直線l上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)，則l∥α；

③若l與平面α平行，則l與α內(nèi)任何一條直線都沒(méi)有公共點(diǎn)；

④平行于同一平面的兩直線可以相交．

 

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在四面體ABCD中，M、N分別是平面△ACD、△BCD的重心，則四面體的四個(gè)面中與MN平行的是________．

 

 

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設(shè)P表示一個(gè)點(diǎn)，a，b表示兩條直線，α、β表示兩個(gè)平面，給出下列四個(gè)命題，其中正確的命題是________．(填序號(hào))

①P∈a，P∈αaα；

②a∩b＝P，bβaβ；

③a∥b，aα，P∈b，P∈αbα；

④α∩β＝b，P∈α，P∈βP∈b.

 

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已知等差數(shù)列{an}前三項(xiàng)之和為－3，前三項(xiàng)積為8.

(1)求等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)若a2，a3，a1成等比數(shù)列，求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和．

 

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