Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

6

3

，短軸的一個端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為

3

（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)（0，2）直線l與C交于A，B，若∠AOB為銳角，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合離心率確定a，c的關(guān)系，根據(jù)短軸的一個端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離確定a，進(jìn)而根據(jù)a，b和c的關(guān)系確定b，橢圓方程可得．
（2）設(shè)直線方程為y=kx+2，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求得斜率的取值范圍，從而解決問題．

解答：解：（1）由e2=

2

3

得a²=3b²，又由題意知a=

3

，所以b=1，所以

x2

3

+y2=1…（4分）
（2）設(shè)直線方程為y=kx+2，所以

y=kx+2 x2+3y2=3

⇒(3k 2+1)x2+12kx+9=0，…（2分）
由題意知△=144k²-36（3k²+1）＞0，解得k²＞1…（1分）
又

x1+x2= -12k 3k2+1 x1x2= 9 3k2+1

，由∠AOB為銳角可得，

OA

•

OB

＞0即x₁x₂+y₁y₂＞0…（2分）
所以（k²+1）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4＞0，代解得k2＜

13

3

…（2分）
綜上可得1＜k2＜

13

3

…（1分）

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用．解答的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求橢圓方程及平面向量的基本計(jì)算．