Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（-x）=-f（x），f（x）=-f（x+2），且x∈（-1，0）時(shí)，f(x)=2x+

1

5

，則f（log₂20）=

 

．

Answer 1

分析：由f（-x）=-f（x）可知f（x）為奇函數(shù)，由f（x）=-f（x+2）可得f（x+4）=f（x），可知f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，利用周期性將f（log₂20）轉(zhuǎn)化為f（log₂

5

4

），再利用奇函數(shù)，將f（log₂

5

4

）轉(zhuǎn)化為-f（log₂

4

5

），根據(jù)當(dāng)x∈（-1，0），f(x)=2x+

1

5

，即可求得f（log₂20）的值．

解答：解：∵f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)，
∵f（x）=-f（x+2），即f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴f（x）是周期函數(shù)，周期為4，
∵log₂16＜log₂20＜log₂32，
∴4＜log₂20＜5，
∴0＜log₂20-4＜1，即0＜log₂

5

4

＜1，即-1＜log₂

4

5

＜0，
∴f（log₂20）=f（log₂20-4）=f（log₂

5

4

）=-f（-log₂

5

4

）=-f（log₂

4

5

），
∵x∈（-1，0）時(shí)，f(x)=2x+

1

5

，
∴f（log₂

4

5

）=2log2

4

5

+

1

5

=

4

5

+

1

5

=1，
∴f（log₂20）=-1．
故答案為：-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是函數(shù)的值，考查利用函數(shù)的性質(zhì)通過轉(zhuǎn)化來求函數(shù)的值，是函數(shù)性質(zhì)綜合運(yùn)用的一道好題．對(duì)于本題中恒等式的意義要好好挖掘，做題時(shí)要盡可能的從這樣的等式中挖掘出信息．解題的關(guān)鍵是利用周期把所求的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上．屬于中檔題．