Question

【題目】已知關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且圓心在軸上.

（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已經(jīng)動(dòng)點(diǎn)在直線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)引的兩條切線(xiàn)、，切點(diǎn)分別為.

①記四邊形的面積為，求的最小值；

②證明直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）（2）① ②證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)圓的一般式，可得圓心坐標(biāo)，將圓心坐標(biāo)代入直線(xiàn)方程，結(jié)合圓心在軸上，即可求得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程。

（2）①根據(jù)切線(xiàn)性質(zhì)及切線(xiàn)長(zhǎng)定理，表示出的長(zhǎng)，根據(jù)圓的性質(zhì)可知當(dāng)最小時(shí)，即可求得面積的最小值；②設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩條切線(xiàn)可知M、A、C、B四點(diǎn)共圓，可得圓心坐標(biāo)及半徑，進(jìn)而求得的方程，根據(jù)兩個(gè)圓公共弦所在直線(xiàn)方程求法即可得直線(xiàn)方程，進(jìn)而求得過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)。

（1）由題意知，

圓心在直線(xiàn)上，即，

又因?yàn)閳A心在軸上，

所以，

由以上兩式得：，，

所以.

故的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）①如圖，的圓心為，半徑，

因?yàn)?/span>、是的兩條切線(xiàn)，

所以，，

故

又因?yàn)?/span>，

根據(jù)平面幾何知識(shí)，要使最小，只要最小即可.

易知，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，

.

此時(shí).

②設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

因?yàn)?/span>，

所以、、、四點(diǎn)共圓.

其圓心為線(xiàn)段的中點(diǎn)，，

設(shè)所在的圓為，

所以的方程為：，

化簡(jiǎn)得：，

因?yàn)?/span>是和的公共弦，

所以，兩式相減得，

故方程為：，

當(dāng)時(shí)，，

所以直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).