Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D,E分別是AB，BB₁的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明： BC₁//平面A₁CD;

（Ⅱ）設(shè)AA₁= AC=CB=2，AB=2，求三棱錐C一A₁DE的體積.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）連結(jié)，交于點(diǎn)F，連結(jié)DO，則F為的中點(diǎn)，

因為D為AB的中點(diǎn)，所以FD∥，

又因為FD平面，平面，所以 //平面；

（Ⅱ）因為ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，所以⊥CD，由已知AC=CB，

D為AB的中點(diǎn)，所以CD⊥AB，又，

于是CD⊥平面，即CD是三棱錐C一A₁DE的高，

由AA₁= AC=CB=2，AB=2得，，CD=，，，，

故，即DE⊥，所以.

本題第（Ⅰ）問，以直三棱為載體，證明空間的線面平行，可以應(yīng)用線面平行的判定定理，一般情況下，遇到中點(diǎn)想中位線的思想要用上，同時用上側(cè)面為平行四邊形的條件;第（Ⅱ）問,求三棱錐的體積，可以證明CD⊥平面，即CD是此三棱錐的高，底面為直角三角形，從而可求出結(jié)果.對第（Ⅰ）問，證明線面平行時,容易漏掉條件平面；對第（Ⅱ）問，注意步驟，必須先證明哪個是三棱錐的高，然后再分步求出高與底面積，代入體積公式求出結(jié)果.

【考點(diǎn)定位】本小題以直三棱柱為載體，主要考查空間中的直線與直線、直線與平面位置關(guān)系的證明、三棱錐體積的求解，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查空間想象能力、分析問題與解決問題的能力.