Question

（Ⅰ）已知x＞0，y＞0，x+2y=1，求

1

x

+

1

y

的最小值．
（Ⅱ）已知a，b∈（0，+∞），求證：

2ab

a+b

≤

ab

．

Answer 1

分析：（I）由題意

1

x

+

1

y

=（x+2y）（

1

x

+

1

y

）=3+

x

y

+

2y

x

，1代換后直接利用基本不等式即可求解；
（II）要證不等式成立，只要證

2 ab

a+b

≤1，即證a+b≥2

ab

，而a+b≥2

ab

顯然成立，從而得到要證的不等式成立．

解答：解：（I）∵x＞0，y＞0，且x+y=1，

1

x

+

1

y

=（x+y）（

1

x

+

1

y

）=3+

x

y

+

2y

x

≥3+2

x y • 2y x

=3+2

2

當且僅當

x

y

=

2y

x

時取等號．
則

1

x

+

1

y

的最小值3+2

2

．
（II）要證：

2ab

a+b

≤

ab

，只須證

2 ab

a+b

≤1，也只要證a+b≥2

ab

，
根據(jù)基本不等式，而+b≥2

ab

顯然成立，
故

2ab

a+b

≤

ab

成立．

點評：（I）本題主要考查了基本不等式的應用，注意1的代換在變形中的應用．（II）本題主要考查用分析法證明不等式，把證明不等式轉化為尋找使不等式成立的充分條件，直到使不等式成立的充分條件顯然已經(jīng)具備為止．