Question

求函數(shù)f(x)=

3

4

(x-1)2-2x+3+lnx在區(qū)間[1，3]上的極值．

Answer 1

分析：先求出導(dǎo)函數(shù)，找到導(dǎo)數(shù)為0的根，在檢驗(yàn)導(dǎo)數(shù)為0的根兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)即可得出結(jié)論．

解答：解：∵函數(shù)f(x)=

3

4

(x-1)2-2x+3+lnx．（x∈[1，3]）
∴f/(x)=

3x2-7x+2

2x

=

(x-2)(3x-1)

2x

=0，解得x=2或

1

3

（舍），
∴當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，故此時(shí)f（x）為減函數(shù)；
當(dāng)2＜x＜3時(shí)，f′（x）＞0，故此時(shí)f（x）為增函數(shù)．
則x=2是函數(shù)的極小值點(diǎn)．
由于f（2）=ln2-

1

4

，
故f（x）的極小值為ln2-

1

4

，無(wú)極大值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)函數(shù)來(lái)研究函數(shù)的極值．在利用導(dǎo)函數(shù)來(lái)研究函數(shù)的極值時(shí)，分三步①求導(dǎo)函數(shù)，②求導(dǎo)函數(shù)為0的根，③判斷根左右兩側(cè)的符號(hào)，若左正右負(fù)，原函數(shù)取極大值；若左負(fù)右正，原函數(shù)取極小值．