Question

已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，P為C₁上任一點(diǎn)，MN是圓C_2：x²+（y-3）²=1的一條直徑，若與AF平行且在y軸上的截距為的直線l恰好與圓C₂相切．
（Ⅰ）已知橢圓C₁的離心率；
（Ⅱ）若的最大值為49，求橢圓C₁的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意可知直線l的方程為，
因?yàn)橹本�與圓c₂：x²+（y-3）²=1相切，所以，即a²=2c²，
從而；（6分）
（Ⅱ）設(shè)P（x，y）、圓C₂的圓心記為C₂，則（c＞0），又=x²+（3-y）²-1=-（y+3）²+2c²+17（-c≤y≤c）．（8分）
j當(dāng)，解得c=4，此時(shí)橢圓方程為；
k當(dāng)0＜c＜3時(shí)，
解得c=5但，故舍去．
綜上所述，橢圓的方程為．（14分）
分析：（Ⅰ先得出直線l的方程，再由直線與圓相切得a²=2c²，從而求得離心率；
（II）設(shè)P（x，y）由的最大值為49，求得c的值，從而求得橢圓方程．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線、圓、橢圓的基本性質(zhì)及位置關(guān)系的應(yīng)用，滲透向量、函數(shù)最值等問題，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力．