Question

已知函數(shù)f（x）=x²+|x-a|．
（Ⅰ）試討論f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）若a≥1，且f（x）的最小值為1，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）討論a的值，從而判定f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）去掉f（x）的絕對(duì)值，在a≥1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性，求出最小值的表達(dá)式，從而求出a的值．

解答：解：（Ⅰ）①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x²+|x|，定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
且f（-x）=x²+|x|，∴f（-x）=f（x），∴f（x）為偶函數(shù)；
②當(dāng)a≠0時(shí)，f（a）=a²，f（-a）=a²+2|a|，
∴f（a）≠f（-a），f（-a）≠-f（a），
∴f（x）為非奇非偶函數(shù)．
（Ⅱ）∵f(x)=

x2+x-a， x≥a x2-x+a， x＜a

，
當(dāng)x≥a時(shí)，∵a≥1，∴f(x)=(x+

1

2

)2-a-

1

4

在[a，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=a時(shí)，f(x)min=a2；
當(dāng)x＜a時(shí)，∴f(x)=(x-

1

2

)2+a-

1

4

，
∵a≥1，
∴當(dāng)x=

1

2

時(shí)，f(x)min=a-

1

4

；
∵a2＞a-

1

4

，又∵f（x）的最小值為1，
∴a-

1

4

=1，即a=

5

4

；
綜上得：a=

5

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求含有絕對(duì)值的二次函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性以及最值問題，解題時(shí)應(yīng)對(duì)題中字母系數(shù)進(jìn)行討論，從而解得問題．