已知數(shù)學(xué)公式在區(qū)間[-1,1]上是增函數(shù)
    ( I)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
    ( II)記實(shí)數(shù)a的取值范圍為集合A,且設(shè)關(guān)于x的方程數(shù)學(xué)公式的兩個非零實(shí)根為x1,x2
    ①求|x1-x2|的最大值;
    ②試問:是否存在實(shí)數(shù)m,使得不等式m2+tm+1>|x1-x2|對?a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求m的取值范圍;若不存在,請說明理由.

    解:(I)…1分)
    ∵f(x)在[-1,1]上是增函數(shù)
    ∴f'(x)≥0即x2-ax-2≤0,在x∈[-1,1]恒成立 (1)
    設(shè) φ(x)=x2-ax-2,則由(1)得解得-1≤a≤1
    所以,a的取值范圍為[-1,1].…
    (II)①由(I)可知A={a|-1≤a≤1}
    得x2-ax-2=0
    ∵△=a2+8>0∴x1,x2是方程x2-ax-2=0的兩個非零實(shí)根
    ∴x1+x2=a,x1x2=-2,又由(1)-1≤a≤1

    ∴|x1-x2|的最大值為3.
    ②要使m2+tm+1>|x1-x2|對?a∈A及t∈[-1,1]恒成立
    即m2+tm+1>3即m2+tm-2>0對?t∈[-1,1]恒成立(2)
    設(shè) g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2),
    則由(2)得解得m>2或m<-2
    故存在實(shí)數(shù)m∈(-∞,-2)∪(2,+∞)滿足題設(shè)條件
    分析:(I)先求導(dǎo)函數(shù)f'(x),然根據(jù)f(x)在[-1,1]上是增函數(shù)則f'(x)≥0在x∈[-1,1]恒成立,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題即可求出a的取值范圍;
    (II)①先求出集合A,然后根據(jù)得x2-ax-2=0,x1,x2是方程x2-ax-2=0的兩個非零實(shí)根,利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出|x1-x2|,最后根據(jù)a的范圍可求出|x1-x2|的最大值;
    ②要使m2+tm+1>|x1-x2|對?a∈A及t∈[-1,1]恒成立,即m2+tm+1>3即m2+tm-2>0對?t∈[-1,1]恒成立,設(shè) g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2),將t看成變量,則g(t)是關(guān)于t的一次函數(shù),然后建立不等式,解之即可求出所求m的取值范圍.
    點(diǎn)評:本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,以及函數(shù)恒成立問題和根與系數(shù)的關(guān)系,同時考查了轉(zhuǎn)化的思想和計(jì)算的能力,屬于中檔題.
    練習(xí)冊系列答案
    相關(guān)習(xí)題

    科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

    已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1處取得極值
    (1)求函數(shù)f(x)的解析式;
    (2)求證:對于區(qū)間[-1,1]上任意兩個自變量的值x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤4;
    (3)若過點(diǎn)A(1,m)(m≠-2)可作曲線y=f(x)的三條切線,求實(shí)數(shù)m的范圍.

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    科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

    已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1處的導(dǎo)數(shù)值都為0.求函數(shù)f(x)的解析式,并求其在區(qū)間[-1,1]上的最大、最小值.

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    科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

    (2012•藍(lán)山縣模擬)已知函數(shù)f(x)=
    -x3+x2+bx+c,(x<1)
    alnx,(x≥1)
    和圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在點(diǎn)(-1,f(-1))處的切線的斜率是-5.
    (1)求實(shí)數(shù)b,c的值;
    (2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值;
    (3)若函數(shù)y=f(x)圖象上存在兩點(diǎn)P,Q,使得對任意給定的正實(shí)數(shù)a都滿足△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍.

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    科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

    (本小題滿分14分)已知關(guān)于x的函數(shù)f(x)=bx2cxbc,其導(dǎo)函數(shù)為f+(x)。令g(x)=∣f+(x) ∣,記函數(shù)g(x)在區(qū)間[-1、1]上的最大值為M。

    (Ⅰ)如果函數(shù)f(x)在x=1處有極值-,試確定b、c的值;

    (Ⅱ)若∣b∣>1,證明對任意的c,都有M>2;

    (Ⅲ)若MK對任意的b、c恒成立,試求k的最大值。

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    科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

    已知f(x)=x3-3x,若m2-4n>0,m,n∈R,求證:“2|m|+|n|<4”是“方程[f(x)]2+mf(x)+n=0在區(qū)間(-1,1)內(nèi)有兩個不等的實(shí)根”的充分不必要條件.

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    同步練習(xí)冊答案