Question

給出以下五個命題：
①對于任意的a＞0，b＞0，都有a^lgb=b^lga成立；
②直線y=x•tanα+b的傾斜角等于α；
③已知異面直線a，b成60°角，則過空間一點(diǎn)P且與a，b均成60°角的直線有且只有兩條；
④在平面內(nèi)，如果將單位向量的起點(diǎn)移到同一個點(diǎn)，那么終點(diǎn)的軌跡是一個半徑為1的圓；
⑤已知函數(shù)y=f（x），若存在常數(shù)M＞0，使|f（x）|＜M•|x|對定義域內(nèi)的任意x均成立，則稱f（x）為“倍約束函數(shù)”．對于函數(shù)f（x）=

x2-1

-1，該函數(shù)是倍約束函數(shù)．
其中真命題的序號是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題,簡易邏輯

分析：①對a^lgb=b^lga兩邊取對數(shù)，得出正確結(jié)論；
②中，明確直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，從而判定命題不成立；
③由已知中異面直線a與b所成的角為60°，設(shè)P為空間一點(diǎn)，過P分別作直線a，b的平行線，得到∠APB=60°，過P點(diǎn)作出直線a，b相交所成角的兩條角平分線，進(jìn)而根據(jù)三余弦定理即可得到答案；
④由單位向量的模長是1以及圓的定義，判定命題是否正確；
⑤函數(shù)f（x）=

x2-1

-1＜•|x|對定義域內(nèi)的任意x均成立．

解答： 解：①中，∵a＞0，b＞0，若a^lgb=b^lga，則lga^lgb=lgb^lga，即lgb•lga=lga•lgb成立，∴命題正確；
②中，直線y=x•tanα+b的斜率是k=tanα，當(dāng)α∈[0，π）且α≠

π

2

時，傾斜角等于α，否則，命題不成立；
③把異面直線a，b平移到相交，使交點(diǎn)為P，此時∠APB=60°，過P點(diǎn)作直線a，b相交所成角的兩條角平分線c，d，如圖所示：若存在其它直線與a，b都成60°角，則直線在該平面上的射影為c或d
∵d與a，b都成60°角，則在平面上射影為d的直線只有直線d一條，
∵c與a，b都成30°角，由三余弦定理，當(dāng)直線與c夾角的余弦為

3

3

時，滿足條件，這樣的直線共有2條，
故過空間一點(diǎn)且與a和b都成60°角的直線共有3條，∴③不正確；
④∵單位向量的模長是1，∴在平面內(nèi)將單位向量的起點(diǎn)移到同一個點(diǎn)，終點(diǎn)的軌跡是一個半徑為1的圓，命題正確；
⑤函數(shù)f（x）=

x2-1

-1＜•|x|對定義域內(nèi)的任意x均成立，∴函數(shù)是倍約束函數(shù)，正確
故答案為：①④⑤．

點(diǎn)評：本題通過命題的判定考查了指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算，直線的斜率與傾斜角，圓、函數(shù)等知識，是綜合題．