Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數(shù)，并且滿足f（xy）=f（x）+f（y），f(

1

3

)=1．
（1）求f（1）的值；
（2）若存在實(shí)數(shù)m，使得f（m）=2，求m的值；
（3）如果f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對(duì)于任意的x，y∈（0，+∞），f（x•y）=f（x）+f（y），令x=y=1，即可求得f（1）的值；
（2）根據(jù)題意，f(

1

3

)=1，令x=y=

1

3

，f（xy）=f（x）+f（y）=2；有可求得m的值；
（3）f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把函數(shù)值不等式轉(zhuǎn)化為自變量不等式，解不等式即可求得結(jié)果．

解答：解：（1）令x=y=1，則f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0
（2）∵f(

1

3

)=1，
∴f(

1

9

)=f(

1

3

×

1

3

)=f(

1

3

)+f(

1

3

)=2
∴m=

1

9

（3）∴f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]＜f(

1

9

)，
又由y=f（x）是定義在R⁺上的減函數(shù)，得：

x(2-x)＞ 1 9 x＞0 2-x＞0

解之得：x∈(1-

2 2

3

，1+

2 2

3

)．

點(diǎn)評(píng)：考查函數(shù)的單調(diào)性，及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化不等式，求抽象函數(shù)的有關(guān)命題，常采用賦值法求解，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，屬中檔題．