Question

已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，)，離心率為，經(jīng)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、F、B在直線x＝4上的射影依次為點(diǎn)D、K、E．

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線l交y軸于點(diǎn)M，且，當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，探求的值是否為定值？若是，求出的值，否則，說(shuō)明理由；

(3)連接AE、BD，試探索當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，直線AE與BD是否相交于定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；否則，說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：(
解析：

解：(Ⅰ)易知因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/3354/0022/90f81c4d4f3cb15ad6e8a040b7d8689d/C/Image98.gif" width=69 HEIGHT=20> 　　∴橢圓C的方程　　4分 　　(2)易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l方程且l與y軸交于設(shè)直線l交橢圓于 　　由得 　　　　6分 　　又由，∴(x1，y1＋k)＝λ(1－x1，－y1) 　　，同理　　8分 　　 　　所以當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，的值為定值－　　10分 　　(3)當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線軸，則ABED為矩形，由對(duì)稱性知，AE與BD相交FK的中點(diǎn)N(，0)　　11分 　　猜想，當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)N(，0) 　　證明：由(2)知 　　當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，首先證直線AE過(guò)定點(diǎn)N(，0)， 　　∶ 　　當(dāng)時(shí)， 　�。� 　　＝點(diǎn)N(，0)，在直線lAE上　　12分 　　同理可證，點(diǎn)N(，0)也在直線lBD上　　13分 　　∴當(dāng)m變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)(，0)　　14分 　　其他正確做法相應(yīng)給分．