在△ABC中,∠A,∠B,∠C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=1,且2cosC+c=2b,則△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍是( 。
A、[0,2)
B、(2,3)
C、[2,3)
D、(2,3]
考點(diǎn):余弦定理
專題:解三角形
分析:由余弦定理求得 cosC的值,代入已知等式可得 (b+c)2-1=3bc,利用基本不等式求得 b+c≤2,a+b+c≤3.再由三角形任意兩邊之和大于第三邊求得a+b+c>2,由此求得△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍.
解答: 解:△ABC中,由條件2cosC+c=2b,利用余弦定理可得 2cosC=
a2+b2-c2
ac

∵a=1,2cosC+c=2b,∴
1+b2-2
b
+c=2b,
化簡(jiǎn)可得 (b+c)2-1=3bc.
∵bc≤(
b+c
2
)
2
,∴(b+c)2-1≤3×(
b+c
2
)
2
,解得 b+c≤2(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí),取等號(hào)),
故a+b+c≤3.
再由任意兩邊之和大于第三邊可得 b+c>a=1,故有 a+b+c>2,故△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍是(2,3],
故選:D.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查余弦定理、基本不等式的應(yīng)用,還考查了三角形任意兩邊之和大于第三邊,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c,若△ABC的面積為
1
8
,其外接圓直徑為4,求證:
1
a
+
1
b
+
1
c
a
+
b
+
c

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長(zhǎng)為1(表示1cm),圖中粗線畫出的是某幾何體的三視圖,該幾何體的體積為( 。
A、
1
3
B、
2
3
C、
4
3
D、2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列不等式不成立的是(  )
A、a2+b2+c2≥ab+bc+ca
B、
a
+
b
a+b
(a>0,b>0)
C、
a
-
a-1
a-2
-
a-3
(a≥3)
D、
2
+
10
>2
6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知8個(gè)非零實(shí)數(shù)a1,a2,a3,…,a8,向量
OA1
=(a1,a2)
,
OA2
=(a3,a4),
OA3
=(a5,a6),
OA4
=
(a7,a8),對(duì)于下列命題:
①若a1,a2,a3,…,a8為等差數(shù)列,則存在i,j(1≤i<j≤8,i,j∈N*),使
OA1
+
OA2
+
OA3
+
OA4
與向量
n
=(ai,aj)
共線;
②若a1,a2,a3,…,a8成等比數(shù)列,則對(duì)任意i,j(1≤i,j≤4,i,j∈N*),都有
OAi
OAj
;
③若a1,a2,a3,…,a8成等比數(shù)列,則存在i,j(1≤i,j≤4,i,j∈N*),使
OAi
OAj
<0

④若
m
=
OAi
OAj
(i≠j,1≤i,j≤4,i,j∈N*),則
m
的值中至少有一個(gè)不小于0,
上述命題正確的是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,三棱錐V-ABC的底面是以B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,側(cè)面VAC與底面ABC垂直,已知其正視圖的面積為2
3
,則其側(cè)視圖的面積是( 。
A、
3
2
B、
3
C、2
3
D、3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若由曲線y=x2+k2與直線y=2kx及y軸所圍成的平面圖形的面積S=9,則k的值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若m>n>0,則下列不等式正確的是( 。
A、2m<2n
B、log0.2m>log0.2n
C、am>an(0<a<1)
D、m-
1
3
n-
1
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)f(x)=2x+lgx的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是(  )
A、(0,
1
2
B、(
1
2
,1)
C、(1,2)
D、(2,+∞)

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