Question

已知橢圓C₁：=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，其中F₂也是拋物線C₂：y²=4x的焦點，M是C₁與C₂在第一象限的交點，且
（I）求橢圓C₁的方程；   
（Ⅱ）已知菱形ABCD的頂點A、C在橢圓C₁上，頂點B、D在直線7x-7y+1=0上，求直線AC的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）設點M為（x₁，y₁），由F₂是拋物線y²=4x的焦點，知F₂（1，0）；|MF₂|=，由拋物線定義知x₁+1=，即x₁=；由M是C₁與C₂的交點，y₁²=4x₁，由此能求出橢圓C₁的方程．
（II）直線BD的方程為：7x-7y+1=0，在菱形ABCD中，AC⊥BD，設直線AC的方程為x+y=m，由，得7x²-8mx+4m²-12=0．由點A、C在橢圓C₁上，知（-8m）²-4×7×（4m²-12）＞0，由此能導出直線AC的方程．
解答：解：（I）設點M為（x₁，y₁），
∵F₂是拋物線y²=4x的焦點，
∴F₂（1，0）；
又|MF₂|=，由拋物線定義知
x₁+1=，即x₁=；
由M是C₁與C₂的交點，
∴y₁²=4x₁，即y₁=±，這里取y₁=；
又點M（，）在C₁上，
∴+=1，且b²=a²-1，
∴9a⁴-37a²+4=0，∴（舍去），
∴a²=4，b²=3；
∴橢圓C₁的方程為：
（II）∵直線BD的方程為：7x-7y+1=0，在菱形ABCD中，AC⊥BD，
不妨設直線AC的方程為x+y=m，
則
∴消去y，得7x²-8mx+4m²-12=0；
∵點A、C在橢圓C₁上，
∴（-8m）²-4×7×（4m²-12）＞0，即m²＜7，∴-＜m＜；
設A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
則x₁+x₂=，y₁+y₂=（-x₁+m）+（-x₂+m）=-（x₁+x₂）+2m=-+2m=，
∴AC的中點坐標為，
由菱形ABCD知，點也在直線BD：7x-7y+1=0上，
即7×-7×+1=0，∴m=-1，由m=-1∈知：
直線AC的方程為：x+y=-1，即x+y+1=0．
點評：本題考查橢圓方程和求法和直線方程的求法，解題時要認真審題，注意拋物線的性質的靈活運用，注意合理地進行等介轉化．