Question

（2007•肇慶二模）設a為正實數(shù)，函數(shù)f（x）=x³-ax²-a²x+1，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的極值；
（Ⅱ）設函數(shù)y=f（x）至多有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對函數(shù)求導，由題意可得，令f'（x）=3x²-2ax-a²=0，得x1=-

a

3

，x2=a(a＞0)，討論函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的極值；
（2）分類討論，當極小值f（a）=1-a³≥0，或極小值f（a）=1-a³＜0，函數(shù)的零點個數(shù)，
進而得到函數(shù)y=f（x）至多有兩個零點時，實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=x³-ax²-a²x+1，得f'（x）=3x²-2ax-a²．（2分）
令f'（x）=3x²-2ax-a²=0，得x1=-

a

3

，x2=a(a＞0)，

x	(-∞，- a 3 )	- a 3	(- a 3 ，a)	a	（a，+∞）
f（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大	減	極小	增

（5分）
∴f(x)極大=f(-

a

3

)=(-

a

3

)3-a(-

a

3

)2-a2×(-

a

3

)+1=

5

27

a3+1（6分）
f(x)極小=f(a)=a3-a3-a3+1=1-a3（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）在(-∞，-

a

3

)上遞增，在(-

a

3

，a)上遞減，在（a，+∞）上遞增，
f(x)極大=f(-

a

3

)=

5

27

a3+1＞0(a＞0)，f(x)極小=f(a)=a3-a3-a3+1=1-a3（9分）
當極小值f（a）=1-a³≥0，即0＜a≤1時，y=f（x）在x∈(-

a

3

，+∞)上有1個或0個零點，
此時f（-1）=a²-a=a（a-1）≤0，∴y=f（x）在x∈(-∞，-

a

3

)上有1個零點，
∴0＜a≤1時，y=f（x）有1個或2個零點；                         （11分）
當極小值f（a）=1-a³＜0，即a＞1時，y=f（x）在x∈(-

a

3

，+∞)上有2個零點，
此時f（-a）=1-a³＜0，y=f（x）在x∈(-∞，-

a

3

)上有1個零點，
∴當a＞1時，y=f（x）有3個零點；                                 （13分）
綜上，若函數(shù)y=f（x）至多有兩個零點，則a的取值范圍是a∈（0，1]．（14分）

點評：本題主要考查了利用函數(shù)的導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值與最值的求解及函數(shù)的恒成立與函數(shù)的最值的相互轉化關系的應用．