Question

已知函數(shù)f（x）=|log₂x|-m（m＞0）的零點分別為x₁，x₂（x₁＜x₂），函數(shù)g（x）=|log₂x|-

8

2m+1

（m＞0）的零點分別為x₃，x₄（x₃＜x₄），則

|x2-x4|

|x1-x3|

的最小值為（　　）

• A、4

  3	4

• B、8

  3	4

• C、4

  2

• D、8

  2

Answer 1

考點：函數(shù)與方程的綜合運用,函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由題意求出x₁，x₂，x₃，x₄，化簡所求表達式，利用基本不等式求出表達式的最小值即可．

解答： 解：函數(shù)f（x）=|log₂x|-m（m＞0）的零點分別為x₁，x₂（x₁＜x₂），
∴x₁=(

1

2

)m，x₂=2^m，
函數(shù)g（x）=|log₂x|-

8

2m+1

（m＞0）的零點分別為x₃，x₄（x₃＜x₄），
∴x₃=(

1

2

)

8

2m+1

，x₄=2

8

2m+1

，
∴

|x2-x4|

|x1-x3|

=

|2m-2 8 2m+1 |

|( 1 2 )m-( 1 2 ) 8 2m+1 |

=

|2m-2 8 2m+1 |2m•2 8 2m+1

|2m-2 8 2m+1 |

=2m•2

8

2m+1

=2m+

8

2m+1

=2m+

1

2

+

4

m+ 1 2

-

1

2

∵m+

1

2

+

4

m+ 1 2

-

1

2

≥2

(m+ 1 2 )• 4 m+ 1 2

-

1

2

=

7

2

，當(dāng)且僅當(dāng)m=

3

2

時等號成立，
∴2m+

1

2

+

4

m+ 1 2

-

1

2

≥2

7

2

=8

2

．
故選：D．

點評：本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，函數(shù)的零點以及基本不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．