.選修4-1：幾何證明選講：

如圖，在Rt△ABC中，, BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E， 點(diǎn)D在AB上，．

(Ⅰ)求證：AC是△BDE的外接圓的切線；

(Ⅱ)若，求EC的長(zhǎng)．

 

【答案】

(Ⅰ)見解析；(Ⅱ) EC=． 

【解析】（I）只需證明：設(shè)圓心為O，則證明即可.進(jìn)一步可考慮證明OE//BC.

(II)可以利用切割線定理解決，先通過,求出半徑長(zhǎng)，再利用OE//BC，可得，求出EC的長(zhǎng).

(Ⅰ)取BD的中點(diǎn)O，連接OE．

∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE．又∵OB=OE，∴∠OBE=∠BEO，

∴∠CBE=∠BEO，∴BC∥OE．………………3分

∵∠C=90°，∴OE⊥AC，∴AC是△BDE的外接圓的切線． --------------------5分

(Ⅱ)設(shè)⊙O的半徑為r，則在△AOE中，

，即，解得,

∴OA=2OE，  ∴∠A=30°，∠AOE=60°． ∴∠CBE=∠OBE=30°．

∴EC=．   ------------------------------10分

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選修4-1：幾何證明選講
已知⊙O的弦AB長(zhǎng)為4，將線段AB延長(zhǎng)到點(diǎn)P，使BP=2；過點(diǎn)P作直線PC切⊙O于點(diǎn)C；
（1）求線段PC的長(zhǎng)；
（2）作⊙O的弦CD交AB于點(diǎn)Q（CQ＜DQ），且Q為AB中點(diǎn)，又CD=5，求線段CQ的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•海口二模）選修4-1：幾何證明選講
切線AB與圓切于點(diǎn)B，圓內(nèi)有一點(diǎn)C滿足AB=AC，∠CAB的平分線AE交圓于D，E，延長(zhǎng)EC交圓于F，延長(zhǎng)DC交圓于G，連接FG．
（Ⅰ）證明：AC∥FG；
（Ⅱ）求證：EC=EG．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•徐州模擬）本題包括A、B、C、D四小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，
若多做，則按作答的前兩題評(píng)分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，半徑分別為R，r（R＞r＞0）的兩圓⊙O，⊙O1內(nèi)切于點(diǎn)T，P是外圓⊙O上任意一點(diǎn)，連PT交⊙O1于點(diǎn)M，PN與內(nèi)圓⊙O1相切，切點(diǎn)為N．求證：PN：PM為定值．
B．選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣M=
21
34

（1）求矩陣M的逆矩陣；
（2）求矩陣M的特征值及特征向量；
C．選修4-2：矩陣與變換
在平面直角坐標(biāo)系x0y中，求圓C的參數(shù)方程為
x=-1+rcosθ
y=rsinθ
(θ為參數(shù)r＞0），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ+
π
4
)=2
2
．若直線l與圓C相切，求r的值．
D．選修4-5：不等式選講
已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a＞b＞c，且a+b+c=1，a2+b2+c2=1，求證：1＜a+b＜
4
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選修4-1：幾何證明選講
如圖，已知PA與⊙O相切于點(diǎn)A，PBC為⊙O的割線，弦CD∥AP，AD與BC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)為CE上一點(diǎn)，且DE2=EF•EC
（I）求證：A、P、D、F四點(diǎn)共圓
（II）若AE=6，DE=EB=4，求PA的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•南通一模）選修4-1：幾何證明選講
如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，若AD是△ABC的高，AE是⊙O的直徑，F(xiàn)是
BC
的中點(diǎn)．求證：
（1）AB•AC=AE•AD；
（2）∠FAE=∠FAD．

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