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已知ex＞xm對任意x∈（1，+∞）恒成立，則實數m的取值范圍是
 
．
考點：函數恒成立問題
專題：函數的性質及應用
分析：利用對數的性質，將參數進行分類，構造函數，利用導數求函數的最值即可得到結論．
解答： 解：對不等式兩邊同時取對數得lnex＞lnxm，
即x＞mlnx，
∵x＞1，∴l(xiāng)nx＞0，
則不等式等價為m＜
x
lnx
，
設f（x）=
x
lnx
，函數的導數為f′（x）=
lnx-x•
1
x
(lnx)2
=
lnx-1
(lnx)2
，
當x＞1時，f′（x）＞0得lnx＞1，即x＞e，
由f′（x）＜0得lnx＜1，即1＜x＜e，
即當x=e時，函數f（x）取得極小值，同時也是最小值f（e）=
e
lne
=e，
∴f（x）≥e，
則m＜e，
故答案為：m＜e
點評：本題主要考查不等式恒成立問題，利用參數分離法，結合函數最值和導數之間的關系，求函數的最值是解決本題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知等比數列{an}的各項均為正數，且a1+2a2=1，a32=4a2a6．
（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設bn=log2an，求數列{an•bn}的前n項和Sn．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
1+㏑x
x
．
（1）若函數在區(qū)間（t，t+
1
2
）（其中t＞0）上存在極值，求實數t的取值范圍；
（2）如果當x≥1時，不等式f（x）≥
a
x+1
恒成立，求實數a的取值范圍．
（3）證明：[（n+1）!]2＞（n+1）•en-2（n∈N+）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義在R上的函數f（x）滿足：f（x）=
x2+2，x∈[0，1)
2-x2，x∈[-1，0)
且f（x+2）=f（x），g（x）=
2x+5
x+2
，則方程f（x）=g（x）在區(qū)間[-5，1]上的所有實根之和為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D為棱AA1的中點．若AA1=4，AB=2，則三棱錐A1-BC1D的體積為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

函數y=sin2x-
3
cos2x的最小正周期為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
1
x
（x＞0），若將函數圖象繞原點逆時針旋轉α（α∈（0，π]）角后得到的函數y=g（x）存在反函數，則α=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知
(1-i)3
1+i
=-2+bi，則b=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設點C在線段AB上（端點除外），若C分AB的比λ=
AC
CB
，則得分點C的坐標公式
xC=
xA+λxB
1+λ
yC=
yA+λyB
1+λ
．如圖所示，對于函數f（x）=x2（x＞0）上任意兩點A（a，a2），B（b，b2），線段AB必在弧AB上方．由圖象中的點C在點C′正上方，有不等式
a2+λb2
1+λ
＞（
a+λb
1+λ
）2成立．對于函數y=lnx的圖象上任意兩點A（a，lna），B（b，lnb），類比上述不等式可以得到的不等式是
 
．

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