Question

已知函數(shù)f（x）=x-alnx在x=1處取得極值．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）+2x=x²+b在[

1

2

，2]上恰有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）若?x₁∈[

1

2

，2]，?x₂∈[

1

2

，2]，使f（x₁）≥x₂²+b成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于0求解a的值；
（2）把f（x）的解析式代入方程f（x）+2x=x²+b，然后構(gòu)造函數(shù)g（x）=x²-3x+lnx+b，方程在[

1

2

，2]上恰有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，說明函數(shù)g（x）在[

1

2

，2]上有兩個不同的零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g（x）在[

1

2

，2]上的極小值，由極小值小于0，兩個端點(diǎn)處的函數(shù)值大于等于0列式求解b的取值范圍；
（3）把?x₁∈[

1

2

，2]，?x₂∈[

1

2

，2]，使f（x₁）≥x₂²+b成立轉(zhuǎn)化為x∈[

1

2

，2]時，f(x)min≥(x2+b)min，利用導(dǎo)數(shù)求f（x）在[

1

2

，2]上的最小值，配方求出函數(shù)y=x²+b的最小值，列式求得b的取值范圍．

解答：解：（1）由數(shù)f（x）=x-alnx，所以f′(x)=1-

a

x

，由題意得，f′（1）=0，所以a=1；
（2）由（1）得，f（x）=x-lnx．
f（x）+2x=x²+b⇒x-lnx=x²+b⇒x²-3x+lnx+b=0．
設(shè)g（x）=x²-3x+lnx+b，則g′(x)=2x-3+

1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

．
當(dāng)x∈(0，

1

2

)時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，x∈(

1

2

，1)時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
x∈（1，2）時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增．
所以g(x)min=g(1)=b-2，g(

1

2

)=b-

5

4

-ln2，g（2）=b-2+ln2．
方程f（x）+2x=x²+b在[

1

2

，2]上恰有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則

g( 1 2 )≥0 g(1)＜0 g(2)≥0

，解得

5

4

+ln2≤b＜2；
（3）?x₁∈[

1

2

，2]，?x₂∈[

1

2

，2]，使f（x₁）≥x₂²+b成立，等價于
x∈[

1

2

，2]時，f(x)min≥(x2+b)min．
由f′(x)=

x-1

x

，

1

2

≤x＜1時f′（x）0．
所以f（x）在[

1

2

，1)上位減函數(shù)，在（1，2]上為增函數(shù)．
所以f（x）_min=f（1）=1．
而y=x²+b在x∈[

1

2

，2]上的最小值為

1

4

+b．
∴

1

4

+b≤1，∴b≤

3

4

．
∴b的取值范圍為(-∞，

3

4

]．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點(diǎn)函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，特別是對于（3）的轉(zhuǎn)化，考查了學(xué)生的抽象思維能力，難度較大．