Question

19．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，且a_n+1+1=a_n²-na_n-n（n∈N^*）．
（1）計算a₂，a₃，a₄的值，由此猜想數(shù)列{a_n}的通項公式（不必證明）；
（2）求證：當n≥2時，a_nⁿ≥4nⁿ．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=a_n²-na_n-n（n∈N^*），且a₁=3，分別令 n=1，2，3，4即可求解，進而可猜想；
（2）由（1）可得a_n=n+2，從而有ann=（n+2）ⁿ，利用二項式定理展開后即可證明．

解答 解：（1）n=1時，a₂=4；n=2時，a₃=5；n=3時，a₄=6；n=4時，a₅=7；
猜想：a_n=n+2…（3）
（2）法一：要證$a_n^n≥4{n^n}（n≥2）$成立
只要證（n+2）ⁿ≥4nⁿ（n≥2）
只要證（x+2）^x≥4x^x（x≥2）
只要證xln（x+2）≥ln4+xlnx（x≥2）
即證xln（x+2）-ln4-xlnx≥0（x≥2），
f（x）=xln（x+2）-ln4-xlnx（x≥2）…（6）
$f'（x）=ln（x+2）+\frac{x}{x+2}-lnx-1=ln\frac{x+2}{x}+\frac{x}{x+2}-1$
令$t=\frac{x+2}{x}=1+\frac{2}{x}（1＜t≤2）$，則$y=lnt+\frac{1}{t}-1，y'=\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}=\frac{t-1}{t^2}＞0$，
所以$y=lnt+\frac{1}{t}-1$在（1，2]上單調(diào)遞增，所以y＞0，即f'（x）＞0，
所以f（x）在（2，+∞）單調(diào)遞增，所以f（x）≥f（2）=0得證．…（10）
法二：令$y={（\frac{a_n}{n}）^n}（n≥2），y={（\frac{n+2}{n}）^n}={（1+\frac{2}{n}）^n}=C_n^0+C_n^1\frac{2}{n}+C_n^2{（\frac{2}{n}）^2}+…=1+2+\frac{n（n-1）}{2}•\frac{4}{n^2}+…$
=$5-\frac{2}{n}+…$，
∵n≥2，∴y≥4，即${（\frac{a_n}{n}）^n}≥4$，即$a_n^n≥4{n^n}（n≥2）$得證．…（10）

點評 本題主要考查了數(shù)列的遞推公式在求解數(shù)列的通項綜的應用及歸納法的應用，解答（2）的關(guān)鍵是二項展開式的應用．