Question

（2012•廣東模擬）若函數(shù)f（x）=x+

a

x

+lnx
（1）當(dāng)a=2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）函數(shù)f（x）是否存在極值．

Answer 1

分析：（1）確定函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)大于0，即可得到函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，考查導(dǎo)數(shù)為0的方程根的情況，利用分類討論的思想，確定方程根的情況，進(jìn)而確定函數(shù)f（x）是否存在極值．

解答：解：（1）由題意，函數(shù)f（x）的定義域為{x|x＞0}…（2分）
當(dāng)a=2時，f(x)=x+

2

x

+lnx，
∴f′(x)=1-

2

x2

+

1

x

=

x2+x-2

x2

…（3分）
令f′（x）＞0，即

x2+x-2

x2

＞0，得x＜-2或x＞1…（5分）
又因為x＞0，所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）…（6分）
（2）f′(x)=1-

a

x2

+

1

x

=

x2+x-a

x2

(x＞0)  …（7分）
令g（x）=x²+x-a，因為g（x）=x²+x-a對稱軸x=-

1

2

＜0，所以只需考慮g（0）的正負(fù)，
當(dāng)g（0）≥0，即a≤0時，在（0，+∞）上g（x）≥0，
即f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，f（x）無極值   …（10分）
當(dāng)g（0）＜0，即a＞0時，g（x）=0在（0，+∞）有解，所以函數(shù)f（x）存在極值．…（12分）
綜上所述：當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）存在極值；當(dāng)a≤0時，函數(shù)f（x）不存在極值．…（14分）

點評：本題考查的重點是導(dǎo)數(shù)知識的運用，解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)大于0，確定函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)為0的方程根的情況的研究，確定函數(shù)f（x）是否存在極值．