Question

如圖，橢圓E：的右焦點F₂與拋物線y²=4x的焦點重合，過F₂作與x軸垂直的直線l與橢圓交于S、T兩點，與拋物線交于C、D兩點，且．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若過點M（2，0）的直線與橢圓E相交于兩點A，B，設P為橢圓E上一點，且滿足（O為坐標原點），當時，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由拋物線方程，得焦點坐標，從而設出橢圓E的方程，解方程組得C（1，2），D（1，-2），根據拋物線、橢圓都關于x軸對稱，建立關于參數b的方程，解得b²=1并推得a²=2．最后寫出橢圓的方程．
（Ⅱ）由題意知直AB的斜率存在．AB：y=k（x-2），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用弦長公式即可求得k值取值范圍，再結合向量的坐標運算利用點P在橢圓上，建立k與t的關系式，利用函數的單調性求出實數t取值范圍，從而解決問題
解答：解：（Ⅰ）由拋物線方程，得焦點F₂（1，0）．
所以橢圓E的方程為：．
解方程組得C（1，2），D（1，-2）．
由于拋物線、橢圓都關于x軸對稱，
∴，，∴．
因此，，解得b²=1并推得a²=2．
故橢圓的方程為．
（Ⅱ）由題意知直AB的斜率存在．
AB：y=k（x-2），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y）
代入橢圓方程，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，k²＜
∴x₁x₂=，x₁+x₂=，
∵，
∴，
∴（1+k²）[-4×]＜，
∴（4k²-1）（14k²+13）＞0，
∴k²＞，
∴＜k²＜，
∵滿足，
∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y），
∴x=，y=，
∵點P在橢圓上，
∴
∴16k²=t²（1+2k²）
∴t²=，由于＜k²＜，
∴-2＜t＜-或＜t＜2
∴實數t取值范圍為：-2＜t＜-或＜t＜2．
點評：本小題主要考查函數單調性的應用、橢圓的簡單性質、直線與圓錐曲線的綜合問題、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．