Question

19．若非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$|$\overrightarrow$|，且（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）⊥（3$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$），則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為（　�。�

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{π}{2}$
• C． $\frac{3π}{4}$
• D． π

Answer 1

分析 根據(jù)向量垂直的等價條件以及向量數(shù)量積的應用進行求解即可．

解答 解：∵（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）⊥（3$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$），
∴（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（3$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）=0，
即3$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow$²-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，
即$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=3$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow$²=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$²，
∴cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{\frac{2}{3}{\overrightarrow}^{2}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}{\overrightarrow}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{π}{4}$，
故選：A

點評 本題主要考查向量夾角的求解，利用向量數(shù)量積的應用以及向量垂直的等價條件是解決本題的關鍵．