Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是AC的中點(diǎn)，E是線段D₁O上一點(diǎn)，且D₁E=λEO．
（1）若λ=1，求異面直線DE與CD₁所成角的余弦值；
（2）若平面CDE⊥平面CD₁O，求λ的值．

Answer 1

【答案】分析：本題背景是一個(gè)正方體，故可以建立空間坐標(biāo)系解題，以以為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，
（1）求出異面直線DE與CD₁的方向向量用數(shù)量積公式兩線夾角的余弦值（或補(bǔ)角的余弦值）
（2）求出兩個(gè)平面的法向量，由于兩個(gè)平面垂直，故它們的法向量的內(nèi)積為0，由此方程求參數(shù)λ的值即可．
解答：解（1）不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，以
為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz．
則A（1，0，0），，C（0，1，0），D₁（0，0，1），
E，
于是，．
由cos==．
所以異面直線AE與CD₁所成角的余弦值為．（5分）
（2）設(shè)平面CD₁O的向量為m=（x₁，y₁，z₁），由m•=0，m•=0
得取x₁=1，得y₁=z₁=1，即m=（1，1，1）．（7分）
由D₁E=λEO，則E，=．
又設(shè)平面CDE的法向量為n=（x₂，y₂，z₂），由n•=0，n•=0．
得取x₂=2，得z₂=-λ，即n=（-2，0，λ）．
因?yàn)槠矫鍯DE⊥平面CD₁F，所以m•n=0，得λ=2．（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題查了異面直線所成的角以及兩個(gè)平面垂直的問(wèn)題，本題采用向量法來(lái)研究線線，面面的問(wèn)題，這是空間向量的一個(gè)重要運(yùn)用，大大降低了求解立體幾何問(wèn)題的難度．