已知過(guò)拋物線x2=4y的焦點(diǎn)，斜率為k（k＞0）的直線l交拋物線于A（x1，y2），B（x2，y2）（x1＜x2）兩點(diǎn)，且|AB|=8．
（1）求直線l的方程；
（2）若點(diǎn)C（x3，y3）是拋物線弧AB上的一點(diǎn)，求△ABC面積的最大值，并求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．

【答案】分析：（1）由拋物線的方程即可得出焦點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)直線AB的方程y=kx+1，與拋物線方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、利用拋物線的定義可得弦長(zhǎng)公式，即可得出k．
（2）設(shè)與直線l平行的直線方程為y=x+m，由題意可知當(dāng)該直線與拋物線相切時(shí)，該切點(diǎn)到直線l的距離最大，利用導(dǎo)數(shù)即可得出切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到三角形的面積．
解答：解：（1）拋物線x2=4y的焦點(diǎn)（0，1），
設(shè)直線AB的方程是y=kx+1，
聯(lián)立，整理得x2-4kx-4=0，
∴x1+x2=4k，
由拋物線定義得：|AB|=y1+y2+2=k（x1+x2）+4=8，
∴k2=1，k=±1．
∵k＞0，∴k=1，直線方程為：y=x+1．
（2）設(shè)與直線l平行的直線方程為y=x+m，
由題意可知當(dāng)該直線與拋物線相切時(shí)，該切點(diǎn)到直線l的距離最大，
，令，解得x=2．
∴點(diǎn)C（2，1），點(diǎn)C到直線AB距離，
．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式等是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知過(guò)點(diǎn)A（-4，0）的動(dòng)直線l與拋物線C：x2=2py（p＞0）相交于B、C兩點(diǎn)．當(dāng)l的斜率是
1
2
時(shí)，
AC
=4
AB
．
（1）求拋物線C的方程；
（2）設(shè)BC的中垂線在y軸上的截距為b，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（文科做（1）（2）（4），理科全做）
已知過(guò)拋物線C1：y2=2px（p＞0）焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn) 
（1）證明：y1y2=-p2且（y1+y2）2=2p（x1+x2-p）；
（2）點(diǎn)Q為線段AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)Q的軌跡方程；
（3）若x1=1，x2=4，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓或雙曲線C2過(guò)A、B兩點(diǎn)，求曲線C1和C2的方程；
（4）在（3）的條件下，若曲線C2的兩焦點(diǎn)分別為F1、F2，線段AB上有兩點(diǎn)C（x3，y3），D（x4，y4）（x3＜x4），滿足：①S△F1F2A-S△F1F2C=S△F1F2D-S△F1F2B，②AB=3CD．在線段F1 F2上是否存在一點(diǎn)P，使PD=
11
，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知過(guò)點(diǎn)A（0，4）的直線l與以F為焦點(diǎn)的拋物線C：x2=py相切于點(diǎn)T（-4，yo）；中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F的橢圓與直線l有公共點(diǎn)．
（1）求直線l的方程和焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）求當(dāng)橢圓的離心率最大時(shí)橢圓的方程；
（3）設(shè)點(diǎn)M（x1，yl）是拋物線C上任意一點(diǎn)，D（0，-2）為定點(diǎn)，是否存在垂直于y軸的直線l′被以MD為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，F(xiàn)是拋物線x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)，點(diǎn)R（1，4）為拋物線內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)Q為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，|QR|+|QF|的最小值為5．
（1）求拋物線方程；
（2）已知過(guò)點(diǎn)P（0，-1）的直線l與拋物線x2=2py（p＞0）相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點(diǎn)，l1、l2分別是該拋物線在A、B兩點(diǎn)處的切線，M、N分別是l1、l2與直線y=-1的交點(diǎn)．求直線l的斜率的取值范圍并證明|PM|=|PN|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：模擬題 題型：解答題

已知過(guò)點(diǎn)A(-4，0)的動(dòng)直線l與拋物線C：x2=2py(p＞0)相交于B，C兩點(diǎn)，當(dāng)l的斜率是時(shí)，，
(1)求拋物線C的方程；
(2)設(shè)BC的中垂線在y軸上的截距為b，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

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