Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足Sn=2an+(-1)n(n∈N*)
（1）求數(shù)列{a_n}的前三項a₁，a₂，a₃；
（2）求證：數(shù)列{an+

2

3

(-1)n}為等比數(shù)列，并求出{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）對于Sn=2an+(-1)n(n∈N*)，令n=1，n=2，n=3即可得出；
（2）當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，化簡并整理可得an+

2

3

(-1)n=2[an-1+

2

3

(-1)n-1]，利用等比數(shù)列的定義即可證明．

解答：解：（1）對于Sn=2an+(-1)n(n∈N*)，令n=1，可得a₁=S₁=2a₁-1，解得a₁=1．
令n=2，則a₁+a₂=S₂=2a₂+1，把a(bǔ)₁=1代入解得a₂=0．
令n=3，則a₁+a₂+a₃=S₃=2a₃-1，把a(bǔ)₁=1，a₂=0代入解得a₃=2．
（2）當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2an+(-1)n-[2an-1+(-1)n-1]，化為an-2an-1+2(-1)n=0．
∴an+

2

3

(-1)n=2[an-1+

2

3

(-1)n-1]，
∴數(shù)列{an+

2

3

(-1)n}是首項為a1+

2

3

×(-1)1=

1

3

，2為公比的等比數(shù)列．
∴an+

2

3

(-1)n=

1

3

×2n-1．
∴an=

1

3

×2n-1+

2

3

×(-1)n-1．

點評：本題考查了“當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”、等比數(shù)列的定義及其通項公式等基礎(chǔ)知識與基本方法，屬于基礎(chǔ)題．