Question

求證：tanα+

1

2

tan

α

2

+

1

4

tan

α

4

+…+

1

2n-1

tan

α

2n-1

=

1

2n-1

cot

α

2n-1

-2cot2α．

Answer 1

分析：通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明．先證當(dāng)n=1時(shí)成立，假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，然后當(dāng)n=k+1時(shí)，代入n=k時(shí)的結(jié)果用二倍角公式化簡(jiǎn)整理可得證．

解答：證明：當(dāng)n=1時(shí)，左邊=tanα，
右邊=cotα-2cot2α=

cosα

sinα

-2×

cos2α-sin2α

2sinαcosα

=

sin2α

sinαcosα

=tanα=左邊，成立
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即tanα+

1

2

tan

α

2

+

1

4

tan

α

4

+…+

1

2k-1

tan

α

2k-1

=

1

2k-1

cot

α

2k-1

-2cot2α成立
當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=tanα+

1

2

tan

α

2

+

1

4

tan

α

4

+…+

1

2k-1

tan

α

2k-1

+

1

2k

tan

α

2k

=

1

2k-1

cot

α

2k-1

-2cot2α+

1

2k

tan

α

2k

=

1

2k-1

[

cos α 2k-1

sin α 2k-1

+ 

1

2

(

sin α 2k

cos α 2k

)]-2cot2α
=

1

2k-1

(

cos2 α 2k -sin2 α 2k

2sin α 2k cos α 2k

+ 

sin2 α 2k

2sin α 2k cos α 2k

)-2cot2α
=

1

2k-1

(

cos2 α 2k

2sin α 2k cos α 2k

)-2cot2α=

1

2k

cot

α

2k

-2cot2α=右邊
得證．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二倍角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系．對(duì)于三角函數(shù)的公式一定要強(qiáng)化記憶，才能熟練做題．