(2013•南京二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
過點(diǎn)A(
a
2
,
a
2
),B(
3
,1)

(1)求橢圓C的方程;
(2)已知點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓C上,F(xiàn)為橢圓的左焦點(diǎn),直線l的方程為x0x+3y0y-6=0.
①求證:直線l與橢圓C有唯一的公共點(diǎn);
②若點(diǎn)F關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為Q,求證:當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí),直線PQ恒過定點(diǎn),并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo).
分析:(1)把A,B的坐標(biāo)代人橢圓的方程即可解得a2,b2;
(2)①把直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立,證明△=0即可;
②把直線l的方程為x0x+3y0y-6=0與過點(diǎn)F且與直線l垂直的方程為3y0x-x0y+6y0=0聯(lián)立即可得到交點(diǎn)坐標(biāo),再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得到其對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo),得到直線PQ的方程即可證明.
解答:解:(1)由題意得
(
a
2
)2
a2
+
(
a
2
)2
b2
=1
3
a2
+
1
b2
=1
解得
a2=6
b2=2

所以所求橢圓C的方程為
x2
6
+
y2
2
=1

(2)聯(lián)立
x2
6
+
y2
2
=1
x0x+3y0y-6=0
,消去y得(
x
2
0
+3
y
2
0
)x2-12x0x+36-18
y
2
0
=0
(*)
由于點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓C上,∴
x
2
0
6
+
y
2
0
2
=1
,化為3
y
2
0
=6-
x
2
0

故(*)可化為x2-2x0x+
x
2
0
=0

△=(-2x0)2-4
x
2
0
=0

所以方程組僅有一組解(x0,y0),即直線與橢圓有唯一公共點(diǎn).
②點(diǎn)F(-2,0),過點(diǎn)F且與直線l垂直的方程為3y0x-x0y+6y0=0.
解方程
x0x+3y0y-6=0
3x0x-x0y+6y0=0
,得
x=
6x0-18
y
2
0
x
2
0
+9
y
2
0
y=
18y0+6x0y0
x
2
0
+9
y
2
0
,
因?yàn)镻(x0,y0)在橢圓
x2
6
+
y2
2
=1
,∴3
y
2
0
=6-
x
2
0
,所以解即為
x=
3x0-6
3-x0
y=
3y0
3-x0

所以點(diǎn)F(-2,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為Q(
4x0-6
3-x0
,
6y0
3-x0
)

當(dāng)x0≠2時(shí),kPQ=
6y0
3-x0
-y0
4x0-6
3-x0
-x0
=
y0
x0-2

所以直線PQ的方程為y-y0=
y0
x0-2
(x-x0)

即(x-2)y0-yx0+2y=0.
x-2=0
y=0
,即直線過定點(diǎn)M(2,0).
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、軸對(duì)稱、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、直線過定點(diǎn)問題等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能,考查了推理能力和計(jì)算能力.
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