Question

如圖，已知三棱柱ABC－A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面垂直，A A₁＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分別是CC₁，BC的中點，點P在直線A₁B₁上，且

（1）證明：無論入取何值，總有AM⊥PN；

（2）當入取何值時，直線PN與平面ABC所成的角θ最大？

并求該角取最大值時的正切值。

（3）是否存在點P，使得平面PMN與平面ABC所成的二面

角為30º，若存在，試確定點P的位置，若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，則A₁（0，0，1），

B₁（1，0，1）， M（0，1，），N（，0）

，，

C

N

（1）∵，∴

∴無論取何值，AM⊥PN……………………………………（4分）

（2）∵（0，0，1）是平面ABC的一個法向量。

∴sinθ=|cos<|=

∴當＝時，θ取得最大值，此時sinθ=,cosθ=,tanθ=2

答：當＝時，θ取得最大值，此時tanθ=2………（8分）

（3）設存在，，設是平面PMN的一個法向量。

則得令x=3，得y=1+2,z=2-2

∴

∴|cos<>|=化簡得4

∵△＝100-4413＝-108<0

∴方程（*）無解

∴不存在點P使得平面PMN與平面ABC所成的二面角為30º…（13分）