Question

 

如圖，在四棱錐中，側(cè)面是正三角形，且與底面垂直，底面是邊長為2的菱形，，是中點，截面交于．

    （1）求與平面所成角的大�。�

    （2）求證：平面⊥平面；                         

    （3）求二面角的大�。�

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 過P點作POAD于O，△PAD是正三角形，所以PO⊥AD，…………………1分

    又因為平面PAD⊥平面ABCD，

    所以PO⊥平面ABCD，…………2分

    BO為PB在平面ABCD上的射影，   

    所以∠PBO為PB與平面ABCD所成的角……………3分

    由已知△ABD為等邊三角形，所以PO=BO=，

    所以PB與平面ABCD所成的角為45°.…………4分

   （2）△ABD是正三角形，所以AD⊥BO，所以AD⊥PB，……………………… 5分

    又，PA=AB=2，N為PB中點，所以AN⊥PB，…………………………………… 6分

    所以PB⊥平面ADMN.又PB平面PBC所以平面PBC⊥平面ADMN……………… 8分

   （3）連結(jié)ON，因為PB⊥平面ADMN，所以O(shè)N為PO在平面ADMN上的射影，

    因為AD⊥PO，所以AD⊥NO，…………………………………………………… 9分

    故∠PON為所求二面角的平面角.………………………………………………… 10分

    因為△POB為等腰直角三角形，N為斜邊中點，所以∠PON=45°，

    即所求二面角的大小為45°…………………………………………………………12分

解法二：（1）同解法一

（2）因為PO⊥平面ABCD，所以PO⊥BO，△ABD是正三角形，所以AD⊥BO，

以O(shè)為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，……………………………………5分

由已知O（0，0，0），B（0，，0，），P（0，0，），A（1，0，0），D（－1，0，0），N（0，），所以，……… 6分

所以，…………… 7分

所以AD⊥PB，AN⊥PB，所以PB⊥平面ADMN，

又PB平面PBC所以平面PBC⊥平面ADMN…………………… 8分

（3）因為AD⊥PB，AD⊥BO，所以AD⊥平面POB， 所以O(shè)N⊥AD，

又PO⊥AD，所以故∠PON為所求二面角的平面角. …………………………10分

因為

設(shè)所求二面角為，則，…………………… 11分

所以=45°，即所求二面角的大小為45°.………………………………………12分