Question

18．若正四棱錐P-ABCD的高為2，側棱PA與底面ABCD所成角的大小為$\frac{π}{4}$，則該正四棱錐的體積為$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 連結AC、BD，交于點O，連結PO，則PO⊥平面ABCD，且PO=2，從而側棱PA與底面ABCD所成角為∠PAO，且$∠PAO=\frac{π}{4}$，進而AO=2，AB=$2\sqrt{2}$，由此能求出該正四棱錐的體積．

解答 解：連結AC、BD，交于點O，連結PO，
∵正四棱錐P-ABCD的高為2，
側棱PA與底面ABCD所成角的大小為$\frac{π}{4}$，
∴PO⊥平面ABCD，且PO=2，
∴側棱PA與底面ABCD所成角為∠PAO，且$∠PAO=\frac{π}{4}$，
∴AO=2，∴AB=$2\sqrt{2}$，
∴該正四棱錐的體積：
V=$\frac{1}{3}×PO×{S}_{正方形ABCD}$=$\frac{1}{3}×2×（2\sqrt{2}×2\sqrt{2}）$=$\frac{16}{3}$．
故答案為：$\frac{16}{3}$．

點評 本題考查正四棱錐的體積的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想，考查創(chuàng)新意識、應用意識，是中檔題．