已知點F橢圓E:+=1(a>b>0)的右焦點,點M在橢圓E上,以M為圓心的圓與x軸切于點F,與y軸交于A、B兩點,且△ABM是邊長為2的正三角形;又橢圓E上的P、Q兩點關(guān)于直線l:y=x+n對稱.
(I)求橢圓E的方程;
(II)當直線l過點(0,)時,求直線PQ的方程;
(III)若點C是直線l上一點,且∠PCQ=,求△PCQ面積的最大值.

【答案】分析:(I)先利用△ABM是邊長為2的正三角形求出c,再利用點M在橢圓E上即可求橢圓E的方程;
(II)把直線PQ的方程與橢圓方程聯(lián)立求出P、Q兩點的坐標之間的關(guān)系,再利用P、Q兩點關(guān)于直線l:y=x+n對稱.即可求直線PQ的方程;
(III)把△PCQ面積用|PQ|表示出來,再利用弦長公式求出|PQ|即可求△PCQ面積的最大值.
解答:解:(I)由題意可知:
M (c,2)且c為正三角形的高,所以c=
將點M坐標代入橢圓方程可得:與a2=b2+3聯(lián)立可得:a2=9,b2=6,所以橢圓方程為:
(II)設(shè)PQ:y=-x+m代入橢圓方程2x2+3y2=18整理得5x2-6mx+3m2-18=0
△=36m2-4•5•(3m2-18)>0,則
令P(x1,y1),Q(x2,y2),故
,則P、Q的中點為
由于l方程為,故,得m=-1
則直線PQ的方程為y=-x-1
(III)[1+(-1)2]

=
則當m=0時,S△POQ的最大值為
點評:本題是圓錐曲線的綜合大題,主要考查解析幾何的有關(guān)知識,以及分析問題與解決問題的能力.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知點F橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點,點M在橢圓E上,以M為圓心的圓與x軸切于點F,與y軸交于A、B兩點,且△ABM是邊長為2的正三角形;又橢圓E上的P、Q兩點關(guān)于直線l:y=x+n對稱.
(I)求橢圓E的方程;
(II)當直線l過點(0,
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)時,求直線PQ的方程;
(III)若點C是直線l上一點,且∠PCQ=
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,求△PCQ面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009-2010學(xué)年天津市十二所重點中學(xué)高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷2(文科)(解析版) 題型:解答題

已知點F橢圓E:+=1(a>b>0)的右焦點,點M在橢圓E上,以M為圓心的圓與x軸切于點F,與y軸交于A、B兩點,且△ABM是邊長為2的正三角形;又橢圓E上的P、Q兩點關(guān)于直線l:y=x+n對稱.
(I)求橢圓E的方程;
(II)當直線l過點(0,)時,求直線PQ的方程;
(III)若點C是直線l上一點,且∠PCQ=,求△PCQ面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009-2010學(xué)年天津市十二所重點中學(xué)高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷2(理科)(解析版) 題型:解答題

已知點F橢圓E:+=1(a>b>0)的右焦點,點M在橢圓E上,以M為圓心的圓與x軸切于點F,與y軸交于A、B兩點,且△ABM是邊長為2的正三角形;又橢圓E上的P、Q兩點關(guān)于直線l:y=x+n對稱.
(I)求橢圓E的方程;
(II)當直線l過點(0,)時,求直線PQ的方程;
(III)若點C是直線l上一點,且∠PCQ=,求△PCQ面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年靖安中學(xué)高三高考模擬考試數(shù)學(xué)卷 題型:解答題

(本小題滿分14分)已知點F橢圓E:的右焦點,點M在橢圓E上,以M為圓心的圓與x軸切于點F,與y軸交于A、B兩點,且是邊長為2的正三角形;又橢圓E上的P、Q兩點關(guān)于直線對稱.

(1)求橢圓E的方程;(2)當直線過點()時,求直線PQ的方程;

(3)若點C是直線上一點,且=,求面積的最大值.

 

 

 

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