Question

如圖，已知平面BCC₁B₁是圓柱的軸截面（經過圓柱的軸的截面），BC是圓柱底面的直徑，O為底面圓心，E為母線CC₁的中點，已知AB=AC=AA₁=4．
（Ⅰ）求證：B₁O⊥平面AEO；
（Ⅱ）求二面角B₁-AE-O的余弦值；
（Ⅲ）求三棱錐A-B₁OE的體積．

Answer 1

【答案】分析：（I）建立空間直角坐標系A-xyz，設出點的坐標，表示出向量的坐標，利用向量的數(shù)量積，確定線線垂直，即可確定線面垂直；
（II）求出平面AEO、平面 B₁AE的法向量，利用向量的夾角公式，可求二面角B₁-AE-F的余弦值；
（Ⅲ）確定AO⊥EO，計算AO，EO的長，利用等體積，即可求得結論．
解答：（I）證明：依題意可知，AA₁⊥平面ABC，∠BAC=90°，如圖建立空間直角坐標系A-xyz，因為AB=AC=AA₁=4，則A（0，0，0），B（4，0，0），E（0，4，2），O（2，2，0），B₁（4，0，4）
，，=（2，2，0）
∴，∴
∴B₁O⊥EO
同理B₁O⊥AO
∵AO∩EO=O，AO，EO?平面AEO
∴B₁O⊥平面AEO；         （4分）
（II）解：平面AEO的法向量為，設平面B₁AE的法向量為，
∴，∴
令x=2，則
∴cos==
∴二面角B₁-AE-F的余弦值為                         （8分）
（Ⅲ）解：∵，∴，∴AO⊥EO
∵AO=，EO=2
∴三棱錐A-B₁OE的體積==S_△AOE•B₁O=         （12分）
點評：本題考查向量知識的運用，考查線面垂直，考查面面角，考查三棱錐體積的計算，解題的關鍵是利用空間向量法，確定平面的法向量．