Question

（2011•黑龍江一模）已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面三角形ABC為正三角形，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，AB=2，AA₁=4，E為AA₁的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC中點(diǎn)．
（1）求證：直線AF∥平面BEC₁；
（2）求點(diǎn)C到平面BEC₁的距離．

Answer 1

分析：（1）取BC₁的中點(diǎn)為R，連接RE，RF，說明四邊形AFRE為平行四邊形，推出AF∥RE，即AF∥平面REC₁．
（2）由等體積法得VC-BEC1=VE-BCC1，求出S△BCC1，S△BEC1，即可直接求點(diǎn)C到平面BEC₁的距離．

解答：（本小題滿分12分）
解：（1）證明：取BC₁的中點(diǎn)為R，連接RE，RF，
則RF∥CC₁，AE∥CC₁，且AE=RF，
所以四邊形AFRE為平行四邊形，
則AF∥RE，即AF∥平面REC₁．…（6分）
（2）由等體積法得VC-BEC1=VE-BCC1，
S△BCC1=

1

2

BC•CC1=

1

2

×2×4=4，
AF=

3

，
VE-BCC1=

1

3

S△BCC1•RE=

4 3

3

，BE=2

2

，EC₁=2

2

，BC₁=2

5

；
S△BEC1=

1

2

×2

5

×

(2 2 )2-( 5 )2

=

15

，
則

1

3

S△BEC1•h=

1

3

S△BCC1•RE，

1

3

×

15

h=

4 3

3

．
得h=

4

5

5

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查空間幾何體的點(diǎn)到平面的距離，直線與平面平行的證明，考查空間想象能力，計(jì)算能力．