Question

若橢圓x²+4（y-a）²=4與拋物線x²=2y有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

-1≤a≤

17

8

．

Answer 1

分析：聯(lián)立方程，將橢圓x²+4（y-a）²=4與拋物線x²=2y有公共點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程2y²-（4a-1）y+2a²-2=0至少有一個(gè)非負(fù)根，求出兩根皆負(fù)時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍，即可求得結(jié)論．

解答：解：橢圓x²+4（y-a）²=4與拋物線x²=2y聯(lián)立可得2y=4-4（y-a）²，
∴2y²-（4a-1）y+2a²-2=0．
∵橢圓x²+4（y-a）²=4與拋物線x²=2y有公共點(diǎn)，
∴方程2y²-（4a-1）y+2a²-2=0至少有一個(gè)非負(fù)根．
∴△=（4a-1）²-16（a²-1）=-8a+17≥0，∴a≤

17

8

．
又∵兩根皆負(fù)時(shí)，由韋達(dá)定理可得2a²＞2，4a-1＜0，∴-1＜a＜1且a＜

1

4

，即a＜-1．
∴方程2y²-（4a-1）y+2a²-2=0至少有一個(gè)非負(fù)根時(shí)，-1≤a≤

17

8

故答案為：-1≤a≤

17

8

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，考查計(jì)算能力，正確合理轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．