Question

若函數(shù)f（x）=x²+ax+

1

x

在（

1

2

，+∞）是增函數(shù)，則a的取值范圍是

[3，+∞）

．

Answer 1

分析：求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)在（

1

2

，+∞）大于等于0恒成立解答案．

解答：解：由f（x）=x²+ax+

1

x

，得f′(x)=2x+a-

1

x2

=

2x3+ax2-1

x2

，
令g（x）=2x³+ax²-1，
要使函數(shù)f（x）=x²+ax+

1

x

在（

1

2

，+∞）是增函數(shù)，
則g（x）=2x³+ax²-1在x∈（

1

2

，+∞）大于等于0恒成立，
g^′（x）=6x+2ax=2x（3x+a），
當(dāng)a=0時(shí)，g^′（x）≥0，g（x）在R上為增函數(shù)，則有g(shù)（

1

2

）≥0，解得

1

4

+

a

4

-1≥0，a≥3；
當(dāng)a＞0時(shí)，g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，則g（

1

2

）≥0，解得

1

4

+

a

4

-1≥0，a≥3；
當(dāng)a＜0時(shí)，同理分析可知，滿足函數(shù)f（x）=x²+ax+

1

x

在（

1

2

，+∞）是增函數(shù)的a的取值范圍是a≥3．
故答案為[3，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了導(dǎo)函數(shù)在求解含有參數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用，是中檔題．