Question

過(guò)拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)的直線與拋物線相交于M、N兩點(diǎn)，自M、N向直線作垂線，垂足分別為、。  

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：⊥；

（Ⅱ）記、 、的面積分別為、、，是否存在，使得對(duì)任意的，都有成立。若存在，求值；若不在，說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）略

（Ⅱ）存在，使得對(duì)任意的，都有成立，證明略

【解析】解：本小題主要考察拋物線的定義和幾何性質(zhì)等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，

考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力。（12分）

依題意，可設(shè)直線MN的方程為，則有

由消去x可得                      ……………2分   

從而有          ①

于是    ②

又由，可得  ③…………4分   

（Ⅰ）如圖1，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)即為拋物線的焦點(diǎn)，為其準(zhǔn)線

此時(shí) ①可得         ……………5分

 

證法1：

         ……………6分

 

證法2：

             …………6分

         

(Ⅱ)存在，使得對(duì)任意的，都有成立，證明如下：

證法1：記直線與x軸的交點(diǎn)為,則。于是有

                            ………8分  

    ………10分

將①、②、③代入上式化簡(jiǎn)可得

上式恒成立，即對(duì)任意成立                                                                                                                  ……………12分

證法2：如圖2，連接,則由可得

,

所以直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，同理可證直線也經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O   ……………9分

 

又設(shè)

則            …………12分