Question

我們稱離心率e=

5 -1

2

的橢圓叫做“黃金橢圓”，若

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)為黃金橢圓，以下四個命題：
（1）長半軸長a，短半軸長b，半焦距c成等比數列．
（2）一個長軸頂點與其不同側的焦點以及一個短軸頂點構成直角三角形．
（3）以兩條通經的4個端點為頂點的四邊形為正方形．
（4）P、Q為橢圓上任意兩點，M為PQ中點，只要PQ與OM的斜率存在，必有k_PQ•k_OM的定值．
其中正確命題的序號為

（1）（2）（3）（4）

．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的離心率及參數a、b、c的關系即可判斷出；
（20利用兩點間的距離公式及（1）的距離即可得出；
（3）把x=±c代入橢圓方程即可得出四個交點的坐標，進而判斷出答案；
（4）利用“差點法”及斜率計算公式即可得出．

解答：解：（1）∵離心率e=

5 -1

2

=

c

a

，不妨設a=2，c=

5

-1，則b²=a²-c²=2

5

-2=ac，∴長半軸長a，短半軸長b，半焦距c成等比數列，故正確；
（2）取A（a，0），B（0，b），焦點F（-c，0），而|BF|²+|BA|²=b²+c²+a²+b²=2a²+b²，|AF|²=（a+c）²=a²+2ac+c²=a²+2b²+c²=2a²+b²，
∴|BF|²+|BA|²=|AF|²，∴AB⊥BF，∴一個長軸頂點與其不同側的焦點以及一個短軸頂點構成直角三角形，故正確；
（3）把x=c代入橢圓方程得

c2

a2

+

y2

b2

=1，解得y=±

b2

a

=±c．故正確．
（4）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），線段PQ的中點M（x₀，y₀），
則

x 2 1

a2

+

y 2 1

b2

=1，

x 2 2

a2

+

y 2 2

b2

=1，將兩式相減得

x 2 1 - x 2 2

a2

+

y 2 1 - y 2 2

b2

=0，∴

x0

a2

+

y0kPQ

b2

=0，又kOM=

y0

x0

，∴kPQ•kOM=-

b2

a2

，為定值．
綜上可知：（1）（2）（3）（4）都正確．
故答案為：（1）（2）（3）（4）．

點評：熟練掌握橢圓的離心率及參數a、b、c的關系、兩點間的距離公式、正方形的定義、“差點法”及斜率計算公式是解題的關鍵．