Question

已知直線l：y=x+2被圓C：（x-3）²+（y-2）²=r²（r＞0）截得的弦AB的長(zhǎng)等于該圓的半徑．
（1）求圓C的方程；
（2）已知直線m：y=x+n被圓C：（x-3）²+（y-2）²=r²（r＞0）截得的弦與圓心構(gòu)成三角形CDE．若△CDE的面積有最大值，求出直線m：y=x+n的方程；若△CDE的面積沒(méi)有最大值，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（1）根據(jù)直線和圓相交得到的弦長(zhǎng)公式求出圓的半徑即可求圓C的方程；
（2）根據(jù)直線和圓相交的位置關(guān)系，結(jié)合△CDE的面積公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)．
∵直線l：y=x+2被圓C：（x-3）²+（y-2）²=r²（r＞0）截得的弦長(zhǎng)等于該圓的半徑，
∴△CAB為正三角形，
∴三角形的高等于邊長(zhǎng)的

3

2

，
∴圓心C到直線l的距離等于邊長(zhǎng)的

3

2

．
∵直線方程為x-y+2=0，圓心的坐標(biāo)為（3，2），
∴圓心到直線的距離d=

|3-2+2|

1+1

=

3 2

2

=

3

2

r，
∴r=

6

，∴圓C的方程為：（x-3）²+（y-2）²=6．
（2）設(shè)圓心C到直線m的距離為h，H為DE的中點(diǎn)，連結(jié)CD，CH，CE．
在△CDE中，
∵DE=2

CE2-CH2

=2

6-h2

，
∴S△CDE=

1

2

DE•CH=

1

2

×2

6-h2

•h=h•

6-h2

∴S△CDE=

h2(6-h2)

≤

h2+6-h2

2

=3，
當(dāng)且僅當(dāng)h²=6-h²，即h²=3，解得h=

3

時(shí)，△CDE的面積最大．
∵CH=

|3-2+n|

1+1

=

2

2

•|n+1|=h=

3

，
∴|n+1|=

6

，
∴n=±

6

-1，∴存在n的值，使得△CDE的面積最大值為3，
此時(shí)直線m的方程為y=x．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)弦長(zhǎng)公式是解決本題的關(guān)鍵．