Question

已知函數(shù)f(x)=ln

1+2x

+mx．
（I）若f（x）為定義域上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（II）當(dāng)m=1，且1≥a＞b≥0時(shí)，證明：

4

3

＜

f(a)-f(b)

a-b

＜2．

Answer 1

分析：（I）整理函數(shù)求出函數(shù)的定義域，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)定義域得到函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)小于0不能恒成立，所以只能整理導(dǎo)函數(shù)大于0恒成立，分離參數(shù)得到結(jié)論．
（II）當(dāng)m=1時(shí)，構(gòu)造新函數(shù)g（x），對(duì)新函數(shù)求導(dǎo)，得到新函數(shù)在[0，1]上遞增，利用遞增函數(shù)的定義，寫出遞增所滿足的條件，在構(gòu)造新函數(shù)h（x），同理得到函數(shù)在[0，1]上遞減，得到遞減的條件，得到結(jié)論．

解答：解：（I）f(x)=ln

1+2x

+mx=

1

2

ln(1+2x)+mx(x＞-

1

2

)，
∴f′(x)=

1

1+2x

+m．
對(duì)x＞-

1

2

，

1

1+2x

＞0，故不存在實(shí)數(shù)m，
使f′(x)=

1

1+2x

+m＜0對(duì)x＞-

1

2

恒成立，
由f′(x)=

1

1+2x

+m≥0對(duì)x＞-

1

2

恒成立得，
m≥-

1

1+2x

對(duì)x＞-

1

2

恒成立
而-

1

1+2x

＜0，故m≥0
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)m≥0時(shí)，f′(x)=

1

1+2x

+m＞0對(duì)x＞-

1

2

恒成立
∴當(dāng)m≥0時(shí)，f（x）為定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)．
（II）證明：當(dāng)m=1時(shí)，令g(x)=f(x)-

4

3

x=

1

2

ln(1+2x)-

1

3

x
g′(x)=

1

1+2x

-

1

3

=

2(1-x)

3(1+2x)

，
在[0，1]上總有g(shù)′（x）≥0，
即g（x）在[0，1]上遞增
∴當(dāng)1≥a＞b≥0時(shí)，g（a）＞g（b），
即f(a)-

4

3

a＞f(b)-

4

3

b?

f(a)-f(b)

a-b

＞

4

3

．
令h(x)=f(x)-2x=

1

2

ln(1+2x)-x，
由（2）知它在[0，1]上遞減，
∴h（a）＜h（b）
即f(a)-2a＜f(b)-2b?

f(a)-f(b)

a-b

＜2
綜上所述，當(dāng)m=1，且1≥a＞b≥0時(shí)，

4

3

＜

f(a)-f(b)

a-b

＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，考查根據(jù)需要構(gòu)造新函數(shù)，考查遞增函數(shù)的定義，考查函數(shù)的恒成立問題，考查解決問題的能力和分析問題的能力，是一個(gè)中檔題．