Question

9．已知函數(shù)f（x）=xe^x，g（x）=-（x+1）²+a，若?x₁，x₂∈R，使得f（x₁）≤g（x₂）成立，則實數(shù)a的取值范圍是[-$\frac{1}{e}$，+∞）．

Answer 1

分析 ?x₁，x₂∈R，使得f（x₂）≤g（x₁）成立，等價于f（x）_min≤g（x）_max，利用導(dǎo)數(shù)可求得f（x）的最小值，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得g（x）的最大值，代入上述不等式即可求得答案．

解答 解：?x₁，x₂∈R，使得f（x₂）≤g（x₁）成立，等價于f（x）_min≤g（x）_max，
f′（x）=e^x+xe^x=（1+x）e^x，
當(dāng)x＜-1時，f′（x）＜0，f（x）遞減，當(dāng)x＞-1時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
所以當(dāng)x=-1時，f（x）取得最小值f（x）_min=f（-1）=-$\frac{1}{e}$；
當(dāng)x=-1時g（x）取得最大值為g（x）_max=g（-1）=a，
所以-$\frac{1}{e}$≤a，即實數(shù)a的取值范圍是a≥-$\frac{1}{e}$，
故答案為：[-$\frac{1}{e}$，+∞）．

點評 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查“能成立”問題的處理方法，解決該題的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題解決．