已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)有最小正周期2,且當x∈(0,1)時,f(x)=
2x4x+1

(1)求f(x)在[-1,1]上的解析式;
(2)證明:f(x)在(0,1)上是減函數(shù).
分析:(1)定義在R上的奇函數(shù)f(x),可得f(0)=0,及x∈(-1,0)時f(x)的解析式,x=-1和1時,同時結合奇偶性和單調性求解.
(2)證明單調性可用定義或導數(shù)解決.
解答:(1)解當x∈(-1,0)時,-x∈(0,1).
∵f(x)是奇函數(shù),∴f(x)=-f(-x)=-
2-x
4-x+1
=-
2x
4x+1

由f(0)=f(-0)=-f(0),
且f(1)=-f(-1)=-f(-1+2)=-f(1),
得f(0)=f(1)=f(-1)=0.∴在區(qū)間[-1,1]上,有f(x)=
2x
4x+1
    x∈(0,1)
-
2x
4x+1
     x∈(-1,0)
0               x∈{-1,0,1}

(2)證明當x∈(0,1)時,f(x)=
2x
4x+1
,設0<x1<x2<1,
則f(x1)-f(x2)=
2x1
4x1+1
-
2x2
4x2+1
=
(2x2-2x1)(2x1+x2-1)  
(4x1+1)(4x2+1) 

∵0<x1<x2<1,∴2x2-2x1>0,2x2+x1-1>0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
故f(x)在(0,1)上單調遞減.
點評:本題考查奇偶性、周期性的綜合應用,及函數(shù)單調性的證明,綜合性較強.
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1
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]
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