Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：（）的離心率且橢圓上的點到點的距離的最大值為3。
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）在橢圓上，是否存在點，使得直線：與圓：相交于不同的兩點、，且的面積最大？若存在，求出點的坐標(biāo)及對應(yīng)的的面積；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）因為，
所以，于是
設(shè)橢圓上任一點，
則（）
當(dāng)時，在時取到最大值，且最大值為，
由解得，與假設(shè)不符合，舍去
當(dāng)時，在時取到最大值，且最大值為，
由解得，于是，
橢圓的方程是。
（Ⅱ）圓心到直線的距離為，弦長，
所以的面積為，
于是
而是橢圓上的點，所以，
即，于是，而，
所以，，所以，
于是當(dāng)時，取到最大值，此時取到最大值，
此時，，
橢圓上存在四個點、、、，使得直線與圓相交于不同的兩點、，且的面積最大，且最大值為。