已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，與＝（3，－1）共線．

（1）求橢圓的離心率；

（2）設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且（），證明為定值．

 

【答案】

（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）設(shè)橢圓方程為，直線AB：y=x－c，

聯(lián)立消去y可得：，

令A(yù)()，B ()，

則，，

向量=(，), 與向量＝（3，－1）共線，

所以3（）+（）=0，

即3（－2c）+（）=0，

4（）－6c=0，

化簡得：，

所以離心率為=。

（2）橢圓即： ①

設(shè)向量=(x，y)，=()，=()

(x，y)=λ()+μ()

即：x=，y= 

M在橢圓上，把坐標(biāo)代入橢圓方程① 得 ②

直線AB的方程與橢圓方程聯(lián)立得，由（1）

已證，所以

所以=，=，

而A，B在橢圓上 ， 

全部代入②整理可得 為定值。

考點(diǎn)：本題主要考查向量共線的條件，直線與橢圓的位置關(guān)系。

點(diǎn)評(píng)：典型題，涉及直線與橢圓的位置關(guān)系問題，通過聯(lián)立方程組得到一元二次方程，應(yīng)用韋達(dá)定理可實(shí)現(xiàn)整體代換，簡化解題過程。

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，
OA
+
OB
與
a
=（3，-1）共線．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且
OM
=λ
OA
+μ
OB
(λ，μ∈R)，證明λ2+μ2為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓短半軸長為1，動(dòng)點(diǎn)M（2，t）（t＞0）在直線x=
a2c
（a為長半軸，c為半焦距）上．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）求以O(shè)M為直徑且被直線3x-4y-5=0截得的弦長為2的圓的方程；
（3）設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N，求證：線段ON的長為定值，并求出這個(gè)定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)F（2，0）的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，
OA
+
OB
與
a
=(3，-1)共線，則該橢圓的長半軸長為
6
6
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓短半軸長為1，動(dòng)點(diǎn)M（2，t）（t＞0）在直線x=
a2c
（a為長半軸，c為半焦距）上．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求以O(shè)M為直徑且被直線3x-4y-5=0截得的弦長為2的圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，
OA
+
OB
與
a
=(3，-1)共線，則該橢圓的離心率為（　�。�
A、
5
3
B、
3
2
C、
6
3
D、
2
2
3

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