Question

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面正三角形的邊長是2，D是CC₁的中點(diǎn)，直線AD與側(cè)面BB₁C₁C所成的角是45°．
（1）求二面角A-BD-C的大小；
（2）求點(diǎn)C到平面ABD的距離．

Answer 1

分析：（1）由幾何體的結(jié)構(gòu)特征與題中條件求出側(cè)棱的長度，進(jìn)而建立坐標(biāo)系分別求出兩個(gè)平面的法向量，再利用向量的有關(guān)運(yùn)算求出二面角的平面角．
（2）由（1）得平面ABD的法向量

n

，再求出平面的一條斜線所在的向量

CA

，求出

CA

在法向量上的射影即可得到答案．

解答：解：（1）取BC的中點(diǎn)為O，連接OD，由正三棱柱的結(jié)構(gòu)特征得OA⊥平面BCC₁B₁，且OA=

3

．
所以∠ADO是直線AD與側(cè)面BB₁C₁C所成的角，即∠ADO=45°．
所以O(shè)D=

3

．
所以側(cè)棱的長為2

2

．
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，

3

)，B（-1，0，0），C（1，0，0），D(1，

2

，0)
設(shè)

n

=(x，y，z)是平面ABD的一個(gè)法向量，
則由

n • AB =0 n • AD =0

得

n

=(

3

，-

6

，-1)
而

EA

=(0，0，

3

)是面BCD的一個(gè)法向量
∴cos＜

EA

•

n

＞=

EA • n

| EA |•| n |

=-

10

10

．
而所求二面角為銳角，即二面角A-BD-C的大小為arccos

10

10

（2）∵

CA

=(-1，0，

3

)
∴點(diǎn)C到面ABD的距離為d=

| CA • n |

| n |

=

30

5

點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系進(jìn)而利用空間向量解決空間中的空間角與空間距離問題．