【答案】
分析:(1)對于函數(shù)f
1(x)=|x-1|+|x-2|,欲判斷其是否是“平底型”函數(shù),只須f
1(x)>=1是否恒成立,利用去絕對值符號后即可證得;同理,對于函數(shù)f
2(x)=x+|x-2|,也是如此驗證.
(Ⅱ)若|t-k|+|t+k|≥|k|•f(x)對一切t∈R恒成立,則(|t-k|+|t+k|)
min≥|k|•f(x).故只須2|k|≥|k|•f(x)也即f(x)≤2最后即可解出實數(shù)x的范圍.(Ⅲ)因為函數(shù)
是區(qū)間[-2,+∞)上的“平底型”函數(shù),則存在區(qū)間[a,b]⊆[-2,+∞)和常數(shù)c,使得
恒成立.
所以x
2+2x+n=(mx-c)
2恒成立,得到關(guān)于m,n,c的方程,解出它們的值,最后通過驗證g(x)是區(qū)間[-2,+∞)上的“平底型”函數(shù)即可解決問題.
解答:解:(1)對于函數(shù)f
1(x)=|x-1|+|x-2|,當(dāng)x∈[1,2]時,f
1(x)=1.
當(dāng)x<1或x>2時,f
1(x)>|(x-1)-(x-2)|=1恒成立,故f
1(x)是“平底型”函數(shù).(2分)
對于函數(shù)f
2(x)=x+|x-2|,當(dāng)x∈(-∞,2]時,f
2(x)=2;當(dāng)x∈(2,+∞)時,f
2(x)=2x-2>2,所以不存在閉區(qū)間[a,b],使當(dāng)x∉[a,b]時,f(x)>2恒成立.
故f
2(x)不是“平底型”函數(shù).(4分)
(Ⅱ)若|t-k|+|t+k|≥|k|•f(x)對一切t∈R恒成立,則(|t-k|+|t+k|)
min≥|k|•f(x).
因為(|t-k|+|t+k|)
min=2|k|,所以2|k|≥|k|•f(x).又k≠0,則f(x)≤2.(6分)
因為f(x)=|x-1|+|x-2|,則|x-1|+|x-2|≤2,解得
.
故實數(shù)x的范圍是
.(8分)
(Ⅲ)因為函數(shù)
是區(qū)間[-2,+∞)上的“平底型”函數(shù),則
存在區(qū)間[a,b]⊆[-2,+∞)和常數(shù)c,使得
恒成立.
所以x
2+2x+n=(mx-c)
2恒成立,即
.解得
或
.(10分)
當(dāng)
時,g(x)=x+|x+1|.
當(dāng)x∈[-2,-1]時,g(x)=-1,當(dāng)x∈(-1,+∞)時,g(x)=2x+1>-1恒成立.
此時,g(x)是區(qū)間[-2,+∞)上的“平底型”函數(shù).(11分)
當(dāng)
時,g(x)=-x+|x+1|.
當(dāng)x∈[-2,-1]時,g(x)=-2x-1≥1,當(dāng)x∈(-1,+∞)時,g(x)=1.
此時,g(x)不是區(qū)間[-2,+∞)上的“平底型”函數(shù).(12分)
綜上分析,m=1,n=1為所求.(13分)
點評:本小題主要考查函數(shù)的概念及其構(gòu)成要素、不等式的解法、函數(shù)恒成立問題等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于中檔題.